Fouriertransformation für Fußgänger. 7. Auflage by Tilman Butz

By Tilman Butz

Dieses unterhaltsame Lehrbuch wendet sich an alle, die in der Ausbildung und in ihrer beruflichen Praxis mit Fouriertransformationen zu tun haben. Das Buch behandelt sowohl Fourierreihen als auch kontinuierliche und diskrete Fouriertransformationen. Au?erdem werden Fensterfunktionen ausf?hrlich diskutiert. Zahlreiche Abbildungen und Beispiele, die vom Leser meist von Hand nachgerechnet werden k?nnen, machen den Stoff leicht verst?ndlich.

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Hierfu ¨ r ist der 1. Verschiebungssatz sehr nu ¨ tzlich: f (t) ↔ {Ck ; ωk }, f (t − a) ↔ Ck e−iωk a ; ωk . 29) Beweis (1. Verschiebungssatz). +T /2 Ckneu 1 = T +T /2−a f (t − a)e −T /2 =e −iωk a Ckalt −iωk t 1 dt = T f (t )e−iωk t e−iωk a dt −T /2−a . Wir integrieren u ¨ ber eine volle Periode, deshalb spielt die Verschiebung der Intervallgrenzen um a keine Rolle. Der Beweis ist trivial, das Resultat der Verschiebung der Zeitachse nicht! Der neue Fourierkoeffizient ergibt sich aus dem alten Koeffizienten Ck durch Multiplikation mit dem Phasenfaktor e−iωk a .

8 ( Dreieckfunktion“ multipliziert mit Kosinus). , wir verschieben die Koeffizienten Ck um a = 1/2 (siehe Abb. 10). Die neue Funktion ist immer noch gerade, und wir mu ¨ ssen uns deshalb nur um die Ak ku ¨ mmern: = Aneu k alt Aalt k+a + Ak−a . 2 1 ✻ − T2 f (t) = 1 ✻ T 2 ✲ t ⎧ 2t ⎪ ⎨ 1 + T f u¨ r − T /2 ≤ t ≤ 0 ⎪ ⎩ 1− 1 ✻ − T2 T 2 ✲ t − T2 cos πt T 2t fu ¨ r 0 ≤ t ≤ T /2 T Abb. 10. ): 2(1 − cos πk) . Aalt k = π2 k2 Damit erhalten wir: Aneu = k = 1 2(1 − cos π(k + 1/2)) 2(1 − cos π(k − 1/2)) + 2 π 2 (k + 1/2)2 π 2 (k − 1/2)2 1 − cos πk cos(π/2) + sin πk sin(π/2) π 2 (k + 1/2)2 + = Aneu = 0 1 − cos πk cos(π/2) − sin πk sin(π/2) π 2 (k − 1/2)2 π 2 (k Aalt 1/2 2 1 1 + 2 2 + 1/2) π (k − 1/2)2 = 2(1 − cos(π/2)) 2π 2 1 2 2 = 4 .

Es soll nun gezeigt werden, daß die Ru ¨ cktransformation wieder zur Ausgangsfunktion fu hrt. F u r die Hintransformation werden wir ha ¨ ¨ ¨ufig FT(f (t)) −1 und fu ¨ r die Ru ¨ cktransformation FT (F (ω)) schreiben. 12) +∞ f (t )δ(t − t )dt = f (t) . 9) verwendet. Fu ¨ r f (t) = 1 bekommen wir: FT(δ(t)) = 1. 13) Der Impulsstoß ben¨otigt also alle Frequenzen mit Einheitsamplitude zu seiner Fourierdarstellung ( weißes Spektrum“). Umgekehrt gilt: ” FT(1) = 2πδ(ω). 14) Die Konstante 1 l¨aßt sich mit einer einzigen Spektralkomponente darstellen, n¨ amlich mit ω = 0.

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