Elementare und algebraische Zahlentheorie: Ein moderner by Prof. Dr. Stefan Müller-Stach, Priv.-Doz. Dr. Jens

By Prof. Dr. Stefan Müller-Stach, Priv.-Doz. Dr. Jens Piontkowski (auth.)

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Im Allgemeinen ist es schwierig zu verstehen, wie die von S erzeugte Untergruppe von G aussieht, jedoch im Fall von abelschen Gruppen ist es recht einfach. Das liegt daran, dass abelsche Gruppen die Struktur eines Z-Moduls tragen. = g + ... 2 Zeigen Sie, dass jede abelsche Gruppe G mit dieser Verkniipfung zu einem Z-Modul wird. 3 Sei G eine abelsche Gruppe und S C G. Dann gilt (S) = { 5 J nsS I £' Q S endlich, ng G Z >. Letf J Beweis: Bezeichnen wir die rechte Menge mit H. Wir zeigen zuerst, dass (5) D H gilt.

21 (Wilson) Eine natiirliche Zahl p ist eine Primzahl genau dann, wenn (p— 1)! = — 1 mod/7. 5. DieRingeZ/nZ 31 Beweis: Wenn p nicht prim ist, ist p = ab mit 1 < a,b < p. Falls a^b, gilt offensichtlich p = ab\(p - 1)! und damit (p - 1)! = 0 mod /?. Fur p = 4 = 2 2 ist 3! = 6 = 2 mod 4. Es bleibt, p = a2 mit a > 2 zu betrachten. Wegen 2a < p gilt a • (2a) | (p — 1)!. Es folgt (/? — 1)! = 0 mod 2a2, insbesondere (p—1)1 = 0 modp = a2. Sei nun /? prim, dann rechnen wir in dem Korper ¥p = Z/pZ. In einem Korper sind nur die Elemente 1 und — 1 ihr eigenes Inverses, denn x = x~x Ox2 = 1<£>0 = J C 2 - 1 = 0 + 1 ) 0 - 1 ) .

4 Sei p G P eine Primzahl. FUr eine Zahl ^ G Z mit £ ^ 0 mod p sind aquivalent: 1. £ ist Primitivwurzel modulo p. 2. £ 9 ^ 1 modpfiir allePrimteiler q von p—1. — 1 Primitivwurzeln sind, so dass man iiblicherweise nicht allzuviele £ testen muss. Beispiel Wir wollen beweisen, dass £ = 2 eine Primitivwurzel modulo 19 ist. Da 19 — 1 = 18 = 2 • 3 2 ist, reicht es zu zeigen, dass £ 18 / 2 = 2 9 ^ 1 mod 19 und £ 18 / 3 = 2 6 ^ 1 mod 19 ist. 2 = 9-2 = T 8 ^ T u n d 2 6 = 2 4 . 2 2 = T 6 - 4 = ^ 3 - 4 = 7 ^ T .

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