Differential Galois Theory by M. van der Put, M. Singer

By M. van der Put, M. Singer

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0/v D v. R; Kn / eine weitere Lösung. t / D exp. t /: 20 1 Lineare Differentialgleichungen und die Exponentialabbildung Diese Funktion ist immer noch C 1 . t / D dt D Ã d d exp. t / C exp. t / dt dt exp. t / C exp. t / D0 zu berechnen. tA/ das Inverse zu exp. tA/ ist. Dies zeigt die Eindeutigkeit der Lösung. 18 ist die Lösung glatt, im reellen Fall reell-analytisch und im komplexen Fall ganz holomorph. 24. 68), die zudem sehr explizit ist. 25 (Harmonischer Oszillator III). 70) Zunächst reskalieren wir die gesuchte Funktion x auf folgende Weise, um eine „dimensionslose“ Version zu erhalten.

14 eine abelsche Quotientengruppe Z pZ. Weiter betrachten wir die Abbildung Z 3 n 7! 21) in die zyklische Gruppe Zp . Man sieht nun schnell, dass dies ein Gruppenmorphismus ist, welcher zudem surjektiv ist. 22) in Zp . 21) gerade durch pZ gegeben. 15 erhalten wir also einen induzierten Gruppenmorphismus ı Z pZ ! 23) welcher nach wie vor surjektiv ist. 23) nun zudem injektiv, also insgesamt ein Gruppenisomorphismus. ı Damit ist also Zp Š Z pZ, was eine etwas konzeptionellere Sichtweise darstellt.

N mit F D f ı pr. ı Beweis. Der erste Teil ist trivial. 5 ist offenbar erfüllt. Sei also f W M ! N mit F ıD f ı pr die zugehörige F Abbildung auf dem Quotienten. y/: Dies zeigt aber x F y und damit Œx D Œy. Also ist f injektiv. 9. Sei M eine Menge und eine Äquivalenzrelation auf M . Dann gibt es eine Menge N und eine Abbildung F W M ! N , sodass D F . Beweis. Die ZielmengeıN ebenso wie die Abbildung ı F sind natürlich keineswegs eindeutig, aber N D M und F D prW M ! M leisten das Gewünschte. u t In diesem Sinne ist also jede Äquivalenzrelation eine Kernrelation, nämlich die Kernrelation ihrer Quotientenabbildung.

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