Boolesche Algebra und Computer: Ein Informatik-Kurs by Gerd Harbeck, Karl-Heinrich Jäschke

By Gerd Harbeck, Karl-Heinrich Jäschke

Kaum eine Maschine wird in so unterschied1ichen Bereichen unserer Gesellschaft eingesetzt wie der computing device. Warenhliuser erfassen Wareneingang und -ausgang mit Computern, Banken bedienen sich der elektronischen Oatenverarbeitungsanlage (EOVA) ftir Buchungen, in statistischen Landesiimtern werden Erhebungsbogen maschinell gelesen und ausgewertet, und in Stiidten werden Ampelanlagen von Rechnern so gesteuert, wie es das Verkehrsaufkommen erfordert. Eine besondere Bedeutung nimmt der computing device in Forschung und Technik ein. Die Raumfahrt z.B. ist erst durch den Einsatz von Computern moglich geworden. Moderne Rechner konnen bis zu ten thousand 000 Additionen in einer Sekunde durch fUhren und eine quickly unvorstellbar groSe Menge von Oaten speichern. Oiese Ge schwindigkeit der Bearbeitung, diese groSe Speicherfahigkeit und die Exaktheit der Berechnungen erzeugen im Laien leicht das Geflihl, im laptop seien, magische Krlifte" am Werk, er sei "unfehlbar" und bedrohe die Entscheidungsfreiheit des Menschen. Yom desktop geht etwas Geheimnisvolles und Faszinierendes, bis wellen sogar etwas Furchterregendes aus. Nur derjenige, der Aufbau und Funktionsweise einer Oatenverarbeitungsanlage kennt, weii ihre Leistungsfahigkeit und Anwendungsmoglichkeiten richtig einzu schatzen. Dieses Buch solI eine Hilfe sein, die ersten Grundlagen fUr das Verstand nis des desktops zu erarbeiten. 1m ersten Kapitel werden Aussagenalgebra und Schaltalgebra als Modelle der Booleschen Algebra entwickelt. Anschlie6end wird das Modell eines programmgesteuerten desktops aufgebaut, das die wesentlichen Funktionstelle eines desktops enthiilt und deren Zusammenspiel zeigt. Die Verfasser Sankelmark, im September 1972 Inhaltsverzeichnis 1. Moclelle der Booleschen Algebra 1 Aussageformen 1.1. 1 1.2. Logische Verkniipfungen 7 Erstes Modell: Aussagenalgebra thirteen 1.3.

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69 Schaltung zum Tenn y = (a 1\ b 1\ c) V (a l\ b 1\ c") V (a 1\ b 1\ C). \t sich zum Term y = (aAb)Vlal\bAc) reduzieren. Die Schaltung zu diesem Term ist einfacher. Die Urnformungen in dem Beispiel zeigen, worauf es bei der Vereinfachung ankommt. Durch Anwenden des Distributivgesetzes mu~ man versuchen, auf einen Term der Art y V Y zu kommen. Dieser Term kann dann zu w verkiirzt und bei konjunktiver Verkniipfung nach dem Gesetz a 1\ w =a weggelassen werden. Das ist die Umkehrung des Verfahrens, das man bei der Entwicklung eines Terms in seine Normalform anwendet (1.

Derartige Konjunkte heiBen Elementarkonjunkte 1). Ein Elementarkonjunkt mit n Variablen ist also ein Konjunkt, in demjede der n Variablen entweder negiert oder nicht negiert genau einmal auftritt. Ein Elementarkonjunkt nirnmt bei genau einer Wertekombination den Wert w an, in seinem Karnaugh-Diagramm ist genau ein Feld schraffiert. 1) Statt Elementarkonjunkt fmdet man in der Literatur auch die Bezeichnung Minterm. 48 Mit zwei Variablen lassen sich vier verschiedene Elementarkonjunkte bilden, die den vier Zeilen einer Wertetabelle und den vier Feldem im Karnaugh-Diagramm entsprechen: a /\ b, a /\ b, a /\ b, a /\ b.

Zu jeder Schaltung gibt es ein Karnaugh-Diagrarnrn (pfeil (5)). A~erdem entsprechen sich die Darstellung einer Schaltung durch eine Zustandstabelle und durch ein Karnaugh-Diagramrn in eineindeutiger Weise (pfeil (8)). Diese Beziehungen ergeben sich unrnittelbar aus der lsomorphie von Aussagenalgebra und Schaltalgebra. 2. Beispiel: Am Beispiel des Terms (a 1\ b) V c solI nun gezeigt werden, wie man die Wertetabelle und das Karnaugh-Diagramrn von Termen mit drei Variablen aufstellt. Zuerst m~ man sich iiberlegen, wie viele Wertekombinationen es bei drei Variablen gibt.

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