Algebra und Diskrete Mathematik 2: Lineare Optimierung, by Dietlinde Lau

By Dietlinde Lau

Algebra und Diskrete Mathematik gehören zu den wichtigsten mathematischen Grundlagen der Informatik. Dieses zweibändige Lehrbuch führt umfassend und lebendig in den Themenkomplex ein. Dabei ermöglichen ein klares Herausarbeiten von Lösungsalgorithmen, viele Beispiele, ausführliche Beweise und eine deutliche optische Unterscheidung des Kernstoffs von weiterführenden Informationen einen raschen Zugang zum Stoff. Die umfangreiche Sammlung von Übungsaufgaben erleichtert nicht nur eine aktive Erarbeitung des Inhalts, sondern zeigt auch die unterschiedlichsten Anwendungsmöglichkeiten auf.

Zum Inhalt: Band 2 besteht aus den drei Teilen: Lineare Optimierung, Graphen und Algorithmen, Algebraische Strukturen und Allgemeine Algebra mit Anwendungen

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Beweise und Erg¨ anzungen zu der hier vorgestellten Variante entnehme man [Pie 62], S. 48–57. Bei unseren Beispielen in Kapitel 4 ist diese Voraussetzung nach Konstruktion erf¨ ullt. B. [Pie 62], S. 53). 25) k, aik <0 ist. Das auf diese Weise erhaltene Schema xm+1 ... xj−1 xj xj+1 ... xn −1 cm+1 ... cj−1 cj cj+1 ... cn 0 x1 c1 a1,m+1 ... a1,j−1 a1j a1,j+1 ... a1n b1 x2 c2 a2,m+1 ... a2,j−1 a2j a2,j+1 ... a2n b2 .. .. .................................................. . xi−1 ci−1 ai−1,m+1 . .

Da die Ecken durch gewisse Auswahlen linear unabh¨angiger Spalten der Koeffizientenmatrix des LGS der Nebenbedingungen eindeutig bestimmt sind, kann es nur endlich viele von ihnen geben. Falls also unser LOP eine L¨ osung besitzt2 , hat man zwecks Ermittlung einer L¨ osung des LOP nur s¨ amtliche Ecken von M durchzumustern und eine solche Ecke x auszuw¨ ahlen, f¨ ur die f (x) minimal (oder maximal) wird. Da dieses Durchmustern sehr aufwendig werden kann, u ¨berlegen wir uns im n¨achsten Kapitel ein Verfahren f¨ ur LOP in Normalform, das — ausgehend von einer gewissen Anfangsecke — eine Folge von Ecken liefert, f¨ ur die die zugeh¨orige Folge der Werte der Zielfunktion monoton fallend ist.

A1n ⎜ 0 1 0 . . 0 a2,m+1 a2,m+2 . . a2n ⎜ ⎝ ...................................... 0 0 0 . . 1 am,m+1 am,m+2 . . amn ⎛ so ist b1 b2 .. ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ x0 := ⎜ ⎜ bm ⎜ 0 ⎜ ⎜ . ⎝ .. 0 19 ⎞ ⎟ ⎟, ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ eine Ecke von M , falls b ≥ o gilt. 3) ⎛ ⎞ 3 ⎜4⎟ ⎜ ⎟ ⎟ x0 := ⎜ ⎜7⎟ ⎝0⎠ 0 so ist als Ecke von M ablesbar. 3) bestimmen kann. 4) x3 0 −1 7 1 0 1 =: B auf und multiplizieren diese Gleichung mit B−1 . 5) aus dem wiederum eine (von x0 verschiedene) Ecke der Menge M ablesbar ist: ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ x1 := ⎜ ⎜ ⎝ 0 11 2 11 2 3 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟.

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