Algebra für Einsteiger: Von der Gleichungsauflösung zur by Jörg Bewersdorff

By Jörg Bewersdorff

Dieses Buch ist eine leichtverst?ndliche Einf?hrung in die Algebra, die den historischen und konkreten Aspekt in den Vordergrund r?ckt. Der rote Faden ist eines der klassischen und fundamentalen Probleme der Algebra: Nachdem im sixteen. Jahrhundert allgemeine L?sungsformeln f?r Gleichungen dritten und vierten Grades gefunden wurden, schlugen entsprechende Bem?hungen f?r Gleichungen f?nften Grades fehl. Nach speedy dreihundertj?hriger Suche f?hrte dies schlie?lich zur Begr?ndung der so genannten Galois-Theorie: Mit ihrer Hilfe kann festgestellt werden, ob eine Gleichung mittels geschachtelter Wurzelausdr?cke l?sbar ist. Das Buch liefert eine gute Motivation f?r die moderne Galois-Theorie, die den Studierenden oft so abstrakt und schwer erscheint.

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Und nun kommt schließlich, ähnlich wie beim entsprechenden Satz für reelle Polynome ungeraden Grades, das entscheidende Stetigkeitsargument: Zieht man den Kreis, auf dem sich z bewegt, ausgehend vom Radius R langsam auf den Nullpunkt zusammen, 0 zieht sicb die Bildkurve ausgebend von einer n-fachen Urnrundung des Nullpunktes auf den Punkt ao zusammen. Dabei muss der Nullpunkt irgendwann einmal getroffen werden. Daher besitzt das Polynomf(z) im Kreis mit Radius R mindestens eine - und damit sogar n - komplexe Nullstellen.

1 + 2i ----I I I I I ----- Bild 5 1-2i Die komplexe Zahlenebene mit der Zahl 1 + 2i und der dazu konjugierten Zahl 1 - 2i. J5. Alle diese Eigenschaften zusammen geben uns die Gewissheit, dass wir mit den Paaren (a, b) in der Form (a, b) = (a, 0) + (b, 0)·(0, 1) = a + bi mit i2 = -1 tatsächlich solche mathematische Objekte definiert haben, die sich wunschgemäß wie a + bH verhalten. J1 = 1 verleitet. Eine für uns im Weiteren sehr wichtige Eigenschaft komplexer Zahlen hat eine enge Beziehung zur geometrischen Darstellung.

Konkret stellt sich die Frage, wie irgendein gegebenes Polynom h(xJ, X2, ... , x n ) in den Lösungen Xl, 27 Diese auf den ersten Blick vielleicht etwas gewöhnungsbedürftige Reihenfolge erklärt sich durch die eine einfache Handhabung bewirkende Identität «(jor')(j) = (j( T(j». Die Suche nach weiteren Auflösungsformeln 46 aus den Koeffizienten der allgemeinen Gleichung, das heißt aus den elementarsymmetrischen Polynomen, bestimmt werden kann. Konkreter: Wie lässt sich eine möglichst einfache Gleichung finden, bei der h(x), X2, ••.

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