A Characterisation of Ck(X) As a Frechet f-Algebra by Pulgarin A.

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Abg hat aber auch wirklich die verlangte Eigenschaft; denn jedes Produkt läßt sich als ab· b- 1 g1 b · g2 = ab g3 schreiben und gehört daher zu abg. (g3 in g) 35 § 9. Homomorphie. Normalteiler. Faktorgruppen. Wir können demnach definieren: Das Produkt zweier Nebenklassen ag, bg ist die Nebenklasse abg. Diese Nebenklasse ist von der Wahl der Repräsentanten a, b unabhängig; denn in ihr liegen alle Produkte je eines Elements von ag mit einem Element von bg. Die Nebenklassen bilden mit dieser Produktdefinition eine zu Q$ hornamorphe Menge, also eine zu Q$ homomorphe Gruppe.

Beweis: Es sei ffi ein Ring, ffi ein System mit doppelter Komposition und ffi "' ffi:. Wir haben zu zeigen, daß ffi: wieder ein Ring ist. Der Beweis verläuft wie bei Gruppen (§ 9) folgendermaßen: Sind b, irgend drei Elemente von ffi: und will man irgend eine Rechnungsregel beweisen, etwa ä(b c) =ab+ ac, so sucht man zu b, drei Urbilder a, b, c. Da ffi: ein Ring ist, so ist a(b+c) =ab+ac, und daraus folgt wegen der Hornamorphie a (b + c) = ab + a c·. Ebenso verfährt man bei allen Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetzen.

13. Polynomringe. Es sei 9l ein Ring. Wir bilden mit einem neuen, d. h. }Ja"x", wo über endlichviele verschiedene ganzzahlige 'II > 0 summiert wird, und wo die "Koeffizienten" a" dem Ring 9l angehören; z. : x3 + a6 x 6 • Diese Ausdrücke heißen Polynome; das Symbol x heißt eine Unbestimmte. Eine Unbestimmte ist also nichts als ein RechensymboL Zwei Polynome heißen dann und nur dann gleich, wenn sie, abgesehen von f (x) = v. d. Waerden, Moderne Algebra I. a0 x 0 +a 3 4 50 III. Ringe und Körper.

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